منتديات حصن عمان - عرض مشاركة واحدة - ((مبرهنة فيثـــــاغورث))

الموضوع: ((مبرهنة فيثـــــاغورث))

عرض مشاركة واحدة

09-04-2007

{ .. قَلبْ يتدفّقْ طفُولَه ..}

مؤهلاتك بالحصن

عدد نقاط تميزك بالحصن : 18737

المستوى :

عدد زياراتك للحصن:

عدد المرفقات :

الحالة :

!.. رسائلي ..!

علمتني الحياة أن الصدق والأمانة هما أرقى الصفات التي يتمتع بها الإنسان.

من مواضيعي

0 تقرير عن المدرسة الرمزية
0 يا ترى من هم ؟؟
0 ::]¦[:: ܓܨ ممـــــكن ليــــش لا ܓܨ ::]¦[::
0 شناااط على كيف كيفج
0 بحث عن تربية الابناء في الاسلام

الاوسمة

مجموع الاوسمة: 9

برهان جوجو
تمت إعادة صياغة مبرهنة جوجو Gougu إنطلاقا من تعليقات و ملاحظات الرياضي الصيني Liu Hui (القرن الثالث بعد الميلاد) على كتاب « الفصول التسعة في فن الرياضيات » (206 قبل الميلاد، 220 بعده) و على كتاب Zhoubi Suanjian « ظل الدوائر، كتاب في Calculus » (كتاب في علم الفلك).

هذا البرهان يعتمد على مبدأ لعبة اللغز Puzzle: مساحتان متساويتان بعد تقطيع و تركيب. يذكر أن إقليدس إستعمل نفس المبدأ (القص) تقريبا.

في الشكل جانبه، المثلث القائم الزاوية مرسوم بلون غامق، مربع أطول ضلع من ضلعي الزاوية القائمة رسم خارج المثلث، بينما نقوم بالعكس بالنسبة للضلعين الآخرين.

المثلث الأحمر يقايس المثلث البدئي. طول أطول ضلع من ضلعي الزاوية القائمة في المثلث الأصفر يساوي طول أصغر ضلع في المثلث البدئي، و زوايا هذين المثلثين متقايسة. طول أطول ضلع من ضلعي الزاوية القائمة في المثلث الأزرق يساوي فرق طولي ضلعي الزاوية القائمة للمثلث البدئي و زواياهما متقايسة أيضا.

لغز جوجو

بإستعمال الجداء السلمي
ليكن ABC مثلثا قائم الزاوية في A

بما أن ABC قائم الزاوية في A فإن

و منه BC2 = AB2 + AC2

برهان حديث

لنعتبر مثلثا قائم الزاوية حيث قياسات أضلاعه هي b ،a و c. نقوم بنسخ المثلث ثلاث مرات بحيث يشكل كل ضلع طوله a مستقيما مع ضلع طوله b لمثلث آخر. نحصل في الأخير على مربع طول ضلعه a+b، كما في الصورة.

لنحسب مساحة المربع المحدد بالأضلاع ذات الطول c. بالطبع المساحة هي c²، و تساوي أيضا فرق مساحة المربع الكبير ذو الضلع a+b و مجموع مساحات المثلثات الأربع. مساحة المربع الكبير هي ²(a+b) لأن طول ضلعه هو a+b. و مجموع مساحات المثلثات هي أربع مرات مساحة مثلث واحد، أي 4(ab/2)، إذن الفرق هو (a+b)²-4(ab/2) بالتبسيط a²+b²+2ab-2ab أي a²+b². بهذا نكون قد برهنا على أن مساحة المربع ذو الضلع c تساوي a²+b²، أي a²+b²=c².

توجد طرق عديدة أخرى لإثبات مبرهنة فيثاغورس، حتى الرئيس الأمريكي الواحد و العشرون جيمس جارفيلد James Garfield برهن، بطريقة قريبة من الطريقة السابقة، على مبرهنة فيثاغورس.

أشكال أخرى للمبرهنة

إستلزامها المضاد للعكس
نص الإستلزام المضاد للعكس:

« إذا كانت أطوال أضلاع مثلث ABC تحقق

فإن المثلث ABC ليس قائما في النقطة A. »

رغم أن الإستلزام المضاد للعكس يكافئ منطقيا المبرهنة المباشرة، إلا أن إستعماليهما مختلفان: فمبرهنة فيثاغورس المباشرة تستعمل لحساب طول ضلع مثلث قائم الزاوية بدلالة طولي الضلعين الآخرين، في حين أن إستلزامها المضاد للعكس يستعمل لإثبات كون مثلث (قياسات أضلاعه معلومة) ليس قائم الزاوية.

الإستلزام المضاد للعكس للخاصية العكسية
يقول ما يلي: « إذا كان المثلث ABC ليس قائم الزاوية في A فإن

تعميم على أشكال هندسية أخرى غير المربعات

عمم إقليدس مبرهنة فيثاغورس في كتابه العناصر (العبارة 31، الجزء VI من كتاب العناصر):

« في المثلثات القائمة الزاوية، مساحة شكل مرسوم على الوتر، يساوي مجموع مساحتي الشكلين المشابهين له المرسومين على ضلعي الزاوية القائمة. »

بتعبير آخر:

« إذا أنشأنا أشكالا متشابهة على أضلاع مثلث قائم الزاوية، فإن مساحتي الشكلين الصغيرين تساوي مساحة الشكل الكبير. »

هذه الخاصية تسمح لنا بالبرهنة على أن مساحة مثلث تساوي مجموع مساحتي الهلالين المرسومين على ضلعي الزاوية القائمة: مبرهنة الهلالين.

مبرهنة الهلالين

إستعمالاتها
تسمح مبرهنة فيثاغورس بحساب المسافة بين نقطتين في معلم متعامد بدلالة إحداثياتهما الديكارتية، إذا كانت A(xa,ya) و B(xb,yb) نقطتان من المستوى الإقليدي، فإن المسافة بينهما هي:

إذا كانت (xb,ya) إحداثيتا نقطة C في نفس المعلم، فإن المثلث ACB قائم الزاوية في C. المسافتان CA و CB معلومتان:

CA = | xb − xa |

CB = | yb − ya |

بينما تمثل المسافة AB طول وتر المثلث ACB.

بشكل عام، في فضاء إقليدي (أو فضاء تآلفي إقليدي)، المسافة من

الى

تساوي:

يمكن أن نعتبر مبرهنة Parseval تعميما لمبرهنة فيثاغورس في فضاء الجداء الداخلي.
تعمم مبرهنة فيثاغورس على التبسيطات ذات الأبعاد الكبيرة. إذا كان لرباعي أوجه ركن قائم (ركن من مكعب)، فإن مربع مساحة الوجه المقابل للركن، يساوي مجموع مربعات مساحات الأوجه الثلاثة الأخرى. تعرف هذه المبرهنة أيضا بإسم مبرهنة