بيسان
31-07-2007, 05:50 PM
خلافاً للحساب, فالجبر لا يقتصر على دراسة أعداد معينة, إذ يشمل حل معادلات تحوي أحرفاً مثل س وص, تمثل كميات مجهولة. كذلك يستخدم في العمليات الجبرية الأعداد السالبة والأعداد الخيالية (الجذور التربيعية للأعداد السالبة).
في علم الحساب، تُمثَّل بالأعداد مختلف الكميات، كالاطوال والمساحات ومبالغ المال. إلا أن بعض المسائل الرياضية تهتم بالبحث عن عدد يمثّل كمية مجهولة. إذا كان مثلاً مجموع عددين 10 وكان احدهما 6، فما هو العدد الآخر؟ الجواب على هذه المسألة البسيطة هو 4. إلا أن أصول العثور عليه تقنة اساسية من تقنات الجبر. لحل هذه المسألة في علم الجبر، نمثّل العدد المجهول بحرف س ونقول: لدينا س+ 6= 10 (هذه معادلة جبريّة)؛ بطرح 6 من كلا الطرفين تتبسّط المعادلة: س= 10- 6= 4. فبِجَعل الحرف س يمثّل الكمية المجهولة، تمكنّا من حل المسألة.
الرياضيون الاغارقة والعرب:
استعمل رياضيون اغارقة، ومنهم ديوفانتوس (القرن الثالث ق.م.)، الأحرف في المعادلات. لكن كلمة الجبر اتت من العربية. ومعناها تجبير العظام، وقد جاءت جزءاً من عنوان كتاب للرياضي العربي الكبير الخوارزمي. بحلول القرن السادس عشر أصبحت المسائل الرياضية تصاغ في الغرب بتعابير جبريّة. وقد بدأ بذلك في فرنسا فرنسيسكوس فياتا (1540 ـ 1603) . ثم ادخل الرياضي الفرنسي رينيه ديكارت (1596 ـ 1650) الاصطلاح الذي اصبح شائعاً لاستعمال الأحرف الأخيرة من الابجدية اللاتينية (X, Y, Z) للدلالة على الكميات المجهولة، والاحرف الأولى (a, b, c) للحلول محل الاعداد المعلومة.
المعادلات والصيغ الجبرية:
تطبّق عملياً المعادلات الجبرية العاديّة في الصيغ المختلفة المستعملة في العلوم، ولا سيما في الرياضيات والفيزياء. فحجم الاسطوانة مثلاً يعطى بالمعادلة: ح= ؟ ش 2 ر، حيث ح تمثّل حجم الاسطوانة و ش شعاع احدى قاعدتها و ر ارتفاعها.
تعالج المعادلات والصيغ الجبرية حسب قواعد ثابتة. فبالامكان مثلاً تغيير المعادلة السابقة لمعرفة ارتفاع اسطوانة ذات حجم معيّن إلى المعادلة: ر= ح/؟ش 2. هذه الصيغ هي عامة، وتطبّق على جميع الاسطوانات، سواء كانت طويلة ورفيعة أو قصيرة وثخينة. هنالك صيغ مماثلة لمساحات جميع الاشكال الهندسية العادية واحجامها.
كثير من المسائل الجبرية تحتوي على أكثر من كمية مجهولة واحدة. لنأخذ مثلاً مسألة اكتشاف عددين موجبين يكون حاصل ضربهما 15 وباقي طرحهما 2. لنمثّل العددين بالحرفين س و ص، ولنترجم المعطيات بالمعادلة: س× ص= 15. لهذه المعادلة عدة حلول: 6×2,5 أو، 3 و 5؛ 7,50 و 2 الخ. لاجراء العملية علينا استعمال المعطيات الأخرى حول «الفرق»، فنحصل على المعادلة: ص- س= 2. لكي نعرف قيمة ص، نحوّل هذه المعادلة إلى: ص= س+ 2 ثم نستبدل قيمة ص هذه في المعادلة الأولى، فنصل إلى المعادلة س× (س+ 2)= 15 أو س 2+ 2 س- 15= صفر، يساعد الجبر على فهم الأحاجبي والتناقضات الظاهرية. فأي عدد مؤلف من ثلاثة أرقام، ويساوي الرقم الوسط فيه مجموع الرقمين الآخرين، هو عدد قابل للقسمة على 11. لماذا؟ يمكن الحصول على الجواب بواسطة الجبر. الحل في هذا الجدول اعداد مؤلفة من 3 أرقام. ولها جميعها خاصّتان مشتركتان: الأولى أن الرقم الأوسط يساوي حاصل جمع الرقمين الآخرين، الثانية أن هذه الاعداد جميعها قابلة للقسمة على 11. إذا مثّل س الرقم الأول و ص الرقم الثالث يكون الرقم الأوسط: (ص+ س) . وتكون قيمة العدد بكامله: 100 س+ 10 (س+ ص)+ ص أي 110س+ 11ص؛ يعطي اختزال العبارة وتحليلها إلى
عواملها: 11 (10س+ ص) . وهي صيغة نهائية تطبّق على جميع الأعداد في الجدو ويظهر منها أن هذه الأعداد قابلة للقسمة على 11.
الجبر البُولي والجبر الافتراضي
جبر المجموعات معروف بالجبر البُولي نسبة إلى جورج بُول (1815 ـ 1864) الذي اسّس المنطق الحديث. هذا الجبر متشاكل (أي متناظر احادي) مع الجبر الافتراضي أي المنطق. يستعمل هذان النوعان من الجبر رموزاً مختلفة: ففي الأول: (؟) يعني اتحاد و(؟) يعني تقاطع؛ يقابل ذلك في الثاني: (؟) يعني «و»، (؟) يعني «أو». الجبر الافتراضي يحلّل مجموعات الاحتمالات المنطقية التي تكون فيها مختلف القضايا البسيطة أو المركبة صحيحة أو خاطئة.
يتم خلق نظام رياضي، عندما تطبّق عملية ثنائية واحدة أو أكثر على مجموعة من العناصر. العملية الثنائية هي التي تجمع عنصرين لتكوّن عنصراً ثالثاً من المجموعة الواحدة. من أكثر الأنظمة الرياضية نفعاً «الزُّمرة»؛ فهي تظهر في حالات مختلفة عدّة وتساعد على توحيد دراسة الرياضيات. نظرية الزمر وضعها ايفاريست غالوا (1811 ـ 1832) واعطاها فيما بعد أرثر كايلي (1821 ـ 1895) شكلاً منهجياً. يمكن توضيح مفهوم الزمرة بدراسة رقصة تشكيلية بسيطة (6)، حيث يغيّر أربعة راقصين مواقعهم (أو يبقون في اماكنهم) لتأليف تشكيلات مختلفة.
من الاختيارات الأربعة المتوفّرة لتحريك مستطيل (9)، تنتج مجموعة من أربعة تحوّلات. إذا اخذنا منها ازواجاً وطبّقنا عليها عملية «يتبع» السابقة، ينتج عنها جملة تحرّكات متناظرة أحادياً مع تلك التي وجدناها في المثل عن الرقص. يعرف هذان النوعان بالمتشاكلين. البحث عن التشاكلات هو بالحقيقة أساس دراسة الرياضيات.
في علم الحساب، تُمثَّل بالأعداد مختلف الكميات، كالاطوال والمساحات ومبالغ المال. إلا أن بعض المسائل الرياضية تهتم بالبحث عن عدد يمثّل كمية مجهولة. إذا كان مثلاً مجموع عددين 10 وكان احدهما 6، فما هو العدد الآخر؟ الجواب على هذه المسألة البسيطة هو 4. إلا أن أصول العثور عليه تقنة اساسية من تقنات الجبر. لحل هذه المسألة في علم الجبر، نمثّل العدد المجهول بحرف س ونقول: لدينا س+ 6= 10 (هذه معادلة جبريّة)؛ بطرح 6 من كلا الطرفين تتبسّط المعادلة: س= 10- 6= 4. فبِجَعل الحرف س يمثّل الكمية المجهولة، تمكنّا من حل المسألة.
الرياضيون الاغارقة والعرب:
استعمل رياضيون اغارقة، ومنهم ديوفانتوس (القرن الثالث ق.م.)، الأحرف في المعادلات. لكن كلمة الجبر اتت من العربية. ومعناها تجبير العظام، وقد جاءت جزءاً من عنوان كتاب للرياضي العربي الكبير الخوارزمي. بحلول القرن السادس عشر أصبحت المسائل الرياضية تصاغ في الغرب بتعابير جبريّة. وقد بدأ بذلك في فرنسا فرنسيسكوس فياتا (1540 ـ 1603) . ثم ادخل الرياضي الفرنسي رينيه ديكارت (1596 ـ 1650) الاصطلاح الذي اصبح شائعاً لاستعمال الأحرف الأخيرة من الابجدية اللاتينية (X, Y, Z) للدلالة على الكميات المجهولة، والاحرف الأولى (a, b, c) للحلول محل الاعداد المعلومة.
المعادلات والصيغ الجبرية:
تطبّق عملياً المعادلات الجبرية العاديّة في الصيغ المختلفة المستعملة في العلوم، ولا سيما في الرياضيات والفيزياء. فحجم الاسطوانة مثلاً يعطى بالمعادلة: ح= ؟ ش 2 ر، حيث ح تمثّل حجم الاسطوانة و ش شعاع احدى قاعدتها و ر ارتفاعها.
تعالج المعادلات والصيغ الجبرية حسب قواعد ثابتة. فبالامكان مثلاً تغيير المعادلة السابقة لمعرفة ارتفاع اسطوانة ذات حجم معيّن إلى المعادلة: ر= ح/؟ش 2. هذه الصيغ هي عامة، وتطبّق على جميع الاسطوانات، سواء كانت طويلة ورفيعة أو قصيرة وثخينة. هنالك صيغ مماثلة لمساحات جميع الاشكال الهندسية العادية واحجامها.
كثير من المسائل الجبرية تحتوي على أكثر من كمية مجهولة واحدة. لنأخذ مثلاً مسألة اكتشاف عددين موجبين يكون حاصل ضربهما 15 وباقي طرحهما 2. لنمثّل العددين بالحرفين س و ص، ولنترجم المعطيات بالمعادلة: س× ص= 15. لهذه المعادلة عدة حلول: 6×2,5 أو، 3 و 5؛ 7,50 و 2 الخ. لاجراء العملية علينا استعمال المعطيات الأخرى حول «الفرق»، فنحصل على المعادلة: ص- س= 2. لكي نعرف قيمة ص، نحوّل هذه المعادلة إلى: ص= س+ 2 ثم نستبدل قيمة ص هذه في المعادلة الأولى، فنصل إلى المعادلة س× (س+ 2)= 15 أو س 2+ 2 س- 15= صفر، يساعد الجبر على فهم الأحاجبي والتناقضات الظاهرية. فأي عدد مؤلف من ثلاثة أرقام، ويساوي الرقم الوسط فيه مجموع الرقمين الآخرين، هو عدد قابل للقسمة على 11. لماذا؟ يمكن الحصول على الجواب بواسطة الجبر. الحل في هذا الجدول اعداد مؤلفة من 3 أرقام. ولها جميعها خاصّتان مشتركتان: الأولى أن الرقم الأوسط يساوي حاصل جمع الرقمين الآخرين، الثانية أن هذه الاعداد جميعها قابلة للقسمة على 11. إذا مثّل س الرقم الأول و ص الرقم الثالث يكون الرقم الأوسط: (ص+ س) . وتكون قيمة العدد بكامله: 100 س+ 10 (س+ ص)+ ص أي 110س+ 11ص؛ يعطي اختزال العبارة وتحليلها إلى
عواملها: 11 (10س+ ص) . وهي صيغة نهائية تطبّق على جميع الأعداد في الجدو ويظهر منها أن هذه الأعداد قابلة للقسمة على 11.
الجبر البُولي والجبر الافتراضي
جبر المجموعات معروف بالجبر البُولي نسبة إلى جورج بُول (1815 ـ 1864) الذي اسّس المنطق الحديث. هذا الجبر متشاكل (أي متناظر احادي) مع الجبر الافتراضي أي المنطق. يستعمل هذان النوعان من الجبر رموزاً مختلفة: ففي الأول: (؟) يعني اتحاد و(؟) يعني تقاطع؛ يقابل ذلك في الثاني: (؟) يعني «و»، (؟) يعني «أو». الجبر الافتراضي يحلّل مجموعات الاحتمالات المنطقية التي تكون فيها مختلف القضايا البسيطة أو المركبة صحيحة أو خاطئة.
يتم خلق نظام رياضي، عندما تطبّق عملية ثنائية واحدة أو أكثر على مجموعة من العناصر. العملية الثنائية هي التي تجمع عنصرين لتكوّن عنصراً ثالثاً من المجموعة الواحدة. من أكثر الأنظمة الرياضية نفعاً «الزُّمرة»؛ فهي تظهر في حالات مختلفة عدّة وتساعد على توحيد دراسة الرياضيات. نظرية الزمر وضعها ايفاريست غالوا (1811 ـ 1832) واعطاها فيما بعد أرثر كايلي (1821 ـ 1895) شكلاً منهجياً. يمكن توضيح مفهوم الزمرة بدراسة رقصة تشكيلية بسيطة (6)، حيث يغيّر أربعة راقصين مواقعهم (أو يبقون في اماكنهم) لتأليف تشكيلات مختلفة.
من الاختيارات الأربعة المتوفّرة لتحريك مستطيل (9)، تنتج مجموعة من أربعة تحوّلات. إذا اخذنا منها ازواجاً وطبّقنا عليها عملية «يتبع» السابقة، ينتج عنها جملة تحرّكات متناظرة أحادياً مع تلك التي وجدناها في المثل عن الرقص. يعرف هذان النوعان بالمتشاكلين. البحث عن التشاكلات هو بالحقيقة أساس دراسة الرياضيات.